Katarzyna Patro

Liczby i przestrzeń – o źródłach powiązania

Abstrakt:

Jednym z dowodów przemawiających za przestrzennym charakterem reprezentacji liczby jest efekt SNARC (Spatial Numerical Association of Response Codes; Dehaene, Bossini, Giraux, 1993). Polega on na szybszym wywoływaniu reakcji po lewej stronie przez mniejsze liczby, zaś po prawej przez większe. Zgodnie z dominującą teorią opisane zjawisko jest wynikiem przyzwyczajeń związanych z kierunkiem pisania i czytania w danej kulturze. Niniejszy tekst ma na celu poddanie w wątpliwość tego wyjaśnienia. Proponuje się, by źródeł asocjacji liczbowo-przestrzennych szukać na znacznie głębszym poziomie niż sięgają wpływy wynalazków kulturowych. Propozycja została podparta własnymi badaniami empirycznymi.

Słowa kluczowe: efekt SNARC, reprezentacja liczby, reprezentacja przestrzeni, umysłowa oś liczbowa

Wprowadzenie

Badania nad umysłowymi reprezentacjami liczb (numerical cognition) stanowią obecnie dość prężnie rozwijającą się gałąź nauk o poznaniu. Wątki podejmowane w jej obrębie charakteryzują się dużą różnorodnością tematyczną (od numerycznych zdolności zwierząt i niemowląt, przez rozwój liczenia u dzieci, do badań nad myśleniem liczbowym u dorosłych) jak i metodologiczną (badania nad mózgiem, testy behawioralne, modele obliczeniowe). W niniejszej pracy chciałabym przedstawić jeden z popularniejszych problemów numerical cognition, który wciąż nie doczekał się zadowalającego wyjaśnienia – związek reprezentacji liczby z reprezentacją przestrzeni.

Wiele interesujących zjawisk zaświadcza o tym, że taki związek rzeczywiście ma miejsce. Jednym z nich jest efekt SNARC (Spatial Numerical Association of Response Codes; Dehaene, Bossini i Giraux, 1993). SNARC widoczny jest szczególnie wtedy, gdy reakcja na daną liczbę musi być ukierunkowana (naciśnięcie przycisku, skierowanie spojrzenia, wskazanie) w odpowiednią stronę. Gdy operujemy względnie małymi liczbami, reagujemy na nie szybciej przez skierowanie w lewą stronę, zaś w przypadku względnie dużych liczb – w prawą stronę. Podobną asocjację (małe liczby – lewa, duże liczby – prawa) można zaobserwować także na poziomie samej prezentacji liczb po obu stronach ekranu. Powiązania wielkości liczbowych z kierunkami przestrzennymi są na tyle silne, że mogą być wzbudzane automatycznie, nawet jeśli informacja o wielkości liczby nie jest w danym momencie istotna (ocena parzystości, Dehaene, Bossini i Giraux, 1993; wyszukiwanie fonemów w liczebniku, Fias et al. 1996). Kolejnym przejawem przestrzennych właściwości reprezentacji liczb jest efekt przesunięcia uwagi na prawo lub lewo na skutek prezentacji cyfry, która jest całkowicie nieistotna w momencie wykonywania zadania (Fischer et al. 2003). Także badania z udziałem pacjentów z zespołem lewostronnego pomijania rzucają nieco światła na problem: proszeni o podanie liczby wyznaczającej środek danego przedziału liczbowego wybierają liczby zdecydowanie bliższe większej wartości, tak jakby razem z lewą stroną przestrzeni zaniedbywali zbiór mniejszych liczb (Zorzi, Priftis i Umilta, 2002).

Powyższe dane skłaniają wielu naukowców do wniosku, że umysłowa reprezentacja liczb jest czymś na kształt poziomej osi liczbowej (mental number line) z wartościami wzrastającymi od lewej do prawej strony. Widać więc podobieństwo do poziomej osi kartezjańskiego układu współrzędnych oraz zgodność z ogólnym kierunkiem zapisu ciągu znaków w naszej zachodniej kulturze. Stąd już o krok do wyjaśnienia związku liczbowo-przestrzennego poprzez wpływy konwencji kulturowych.

Czytanie i pisanie a SNARC

Rzeczywiście, wiele badań potwierdza, że kierunek pisania i czytania przyjęty w danej kulturze kształtuje kierunek umysłowej osi liczbowej. Użytkownicy języków kultury zachodniej przejawiają efekt SNARC w kierunku, w jakim go opisano powyżej. Natomiast u przedstawicieli kultury arabskiej, w której przyjęto zapis od prawej do lewej strony zaobserwowano odwrócony efekt SNARC: reakcja na mniejsze liczby szybsza jest po prawej stronie, zaś na większe po lewej (Zebian, 2005). Ciekawych obserwacji dokonano także u osób dwujęzycznych pochodzących z takich kultur (Arabowie, Persowie), których drugim językiem stał się język kultury zachodniej. Otóż kierunek pisania w drugim języku (w zależności od stopnia zaawansowania użytkownika) mniej lub bardziej osłabia albo odwraca efekt wywoływany przez kierunek pisania w języku ojczystym (Dehaene, Bossini i Giraux, 1993; Zebian, 2005). Ostatnio, w badaniu z udziałem rodzimych użytkowników języka rosyjskiego z językiem hebrajskim jako dodatkowym zaobserwowano, że kierunek skanowania wzrokowego podczas czytania może nawet w ciągu kilku minut zmienić siłę efektu SNARC u tej samej osoby (Shaki i Fischer, 2008).

Wygląda więc na to, że kształt naszych umysłowych reprezentacji liczb znajduje się pod silnym wpływem zwyczajów kulturowych związanych z aktywnością czytania i pisania. Jednak pewne dane eksperymentalne wskazują na ograniczenia tego wpływu. Dla przykładu, w kulturze japońskiej, gdzie pisze się i czyta od góry do dołu, efekt SNARC zachodzi w wymiarze wertykalnym w zupełnie odwrotnym kierunku: małe liczby powiązane są z dołem, duże zaś z górą (Ito i Hatta, 2004). Podobną asocjację w tym wymiarze zauważa się również u reprezentantów kultur zachodnich, choć i tutaj zwyczaje piśmiennicze na to nie wskazują (Schwarz i Keus, 2004; Gevers et al., 2006). Pojawia się więc pytanie – czy odwoływanie się do konwencji kulturowych związanych z kierunkiem pisania i czytania jest wystarczającym wyjaśnieniem omawianego zjawiska?

Argumenty przeciw determinizmowi kulturowemu

Zdolność do myślenia w kategoriach liczbowych może być postrzegana jako wynik rozwoju systemów symbolicznych w toku ewolucji kulturowej. Jednak badania z zakresu numerical cognition poddały to w wątpliwość. Kompetencje numeryczne mają swoje głębokie filogenetyczne i ontogenetyczne źródła. Zdolności abstrahowania liczebności ze zbiorów elementów a także wykonywanie na nich prostych operacji arytmetycznych (dodawanie, odejmowanie) zaobserwowano zarówno u różnych gatunków zwierząt, jak i u kilkumiesięcznych niemowląt (przegląd badań można znaleźć m.in. w: Dehaene, Dehaene-Lambertz i Cohen, 1998; Brannon, 2005). Niewerbalna arytmetyka stała się dowodem na to, że matematyka nie jest tylko i wyłącznie wynalazkiem cywilizacyjnym, ale dziedzictwem ewolucyjnym, które odpowiednio wykorzystaliśmy i ukształtowaliśmy dzięki kulturze. Idąc tym tokiem myślenia, można zaryzykować stwierdzenie, że źródła asocjacji liczbowo-przestrzennych sięgają dużo głębiej niż mogłyby sięgać oddziaływania wynalazków kulturowych. Pewne dane eksperymentalne czynią tę hipotezę coraz bardziej prawdopodobną. Poniżej przedstawię najważniejsze z nich.

Umysłowa oś liczbowa wyjaśnia nie tylko efekt SNARC, ale także inną ważną zależność rządzącą przetwarzaniem liczb zarówno w formacie symbolicznym, jak i analogowym (zbiory elementów). Zgodnie z efektem dystansu (distance effect) dwie liczby są tym łatwiej rozróżnialne, im większa jest różnica między ich wartościami (Moyer i Landauer, 1967). Efekt ten daje się łatwo zilustrować za pomocą osi, na której reprezentowane są kolejne liczby. Większa odległość między dwiema liczbami ułatwia ich zidentyfikowanie. Na osi liczbowej reprezentowane być mogą zarówno liczby w formacie dyskretnym, jak i analogowym; jest ona obecna i u zwierząt, i u niemowląt i u ludzi dorosłych (zob. Dehaene, 1997). Dlaczego więc ukierunkowanie wartości, związane z efektem SNARC miałoby być własnością osi uaktywnianej przez cyfry, a przez liczebności już nie?

Drugim ważnym argumentem jest mózgowa organizacja sieci neuronowych odpowiedzialnych za tworzenie amodalnych (a więc również analogowych) reprezentacji liczb zgodnie z prawem dystansu. Sieci te ulokowane są w poziomym segmencie bruzdy śródciemieniowej (Dehaene et al., 2003). Hubbard i współpracownicy (2005) dokonali analizy porównawczej różnych danych z eksperymentów nad ludźmi i innymi naczelnymi, z której wynika, że u obu gatunków w obrębie bruzdy śródciemieniowej neurony „liczbowe” leżą w bliskim sąsiedztwie neuronów wyspecjalizowanych w ukierunkowywaniu uwagi w przestrzeni. Autorzy wysuwają hipotezę, że ścisła współpraca między tymi obwodami neuronalnymi umożliwiałaby w efekcie przesuwanie uwagi wzdłuż umysłowej osi liczbowej. Efekt SNARC mógłby zatem mieć swoje biologiczne podłoże odziedziczone również w toku ewolucji tak jak efekt dystansu.

Ciągłość ewolucyjna efektu SNARC została udokumentowana tylko w jednym nieopublikowanym badaniu behawioralnym z udziałem rezusów i ludzi dorosłych, których zadaniem było wybrać większy zbiór z dwóch prezentowanych (Gulledge, 2006). Wyniki te, oprócz owej ciągłości filogenetycznej wykazują, że możliwe jest badanie efektu SNARC stosując bodźce liczbowe w formacie niewerbalnym. Po drugie, nawyki związane z kierunkiem pisania i czytania nie są niezbędne do zaistnienia efektu.
Jakie więc czynniki warunkują jego powstawanie? Co sprawia, że komórki nerwowe reprezentujące liczby i przestrzeń łączą się i współdziałają ze sobą? Czy bierze tu udział określony mechanizm rozwojowy? Przyjrzyjmy się zatem ontogenetycznym źródłom asocjacji liczbowo-przestrzennych.

SNARC z perspektywy rozwojowej

Badania nad efektem SNARC z perspektywy rozwojowej nie są liczne. Berch wraz ze współpracownikami (1999), wykorzystując zadanie polegające na ocenie parzystości liczby, znaleźli pierwsze przejawy efektu dopiero u dzieci w trzeciej klasie szkoły podstawowej (średnia wieku: 9 lat i 2 miesiące). Natomiast Van Galen i Reitsma (2008) zaobserwowali efekt już u dzieci 7-letnich w zadaniu dotyczącym porównywania wielkości liczb. Jednak bardziej automatyczne asocjacje przejawiające się poprzez efekt przesunięcia uwagi przy prezentacji liczby nieistotnej dla zadania zostały zaobserwowane przez tych badaczy dopiero u dzieci 9-letnich. Automatyzm asocjacji rośnie więc wraz z wiekiem, wraz z doświadczeniem i biegłością w posługiwaniu się liczbami. Ponieważ notacja cyfrowa jest czymś, czego dzieci się dopiero uczą, można by rozważyć zastosowanie zadania opartego na nie-językowych zdolnościach abstrahowania liczebności ze zbiorów. Moglibyśmy wtedy sprawdzić, czy efekt SNARC obecny jest już u najmłodszych dzieci przedszkolnych oraz wziąć pod uwagę różne czynniki rozwojowe, które ten efekt mogłyby warunkować.

Badania własne

Poniżej przedstawię rezultaty własnych badań, które miały na celu sprawdzenie, czy efekt SNARC rzeczywiście występuje u dzieci przedszkolnych, które nie nabyły jeszcze umiejętności czytania i pisania. W badaniu został uwzględniony wpływ czynnika związanego z opanowaniem procedury przeliczania elementów. Umiejętność liczenia dzieci nabywają zwykle ok. 4 roku życia, choć już wcześniej potrafią recytować z pamięci listę liczebników. Jednak uświadomienie sobie, że każda cyfra X reprezentuje określoną liczebność i każda następna cyfra (X+1) liczebność większą o 1 element jest dużym osiągnięciem w rozwoju poznawczym, umożliwia bowiem zrozumienie funkcji następnika i uchwycenie idei porządku liczbowego, co mogłoby mieć istotny wpływ na ukierunkowanie w obrębie przestrzennej reprezentacji liczb. Ponadto podczas przeliczania zauważa się pewne tendencje kierunkowe: dzieci proszone o policzenie elementów w rzędzie spontanicznie zaczynają liczyć od lewej strony, dodawać elementy do prawej strony i odejmować od prawej do lewej (Opfer and Thompson, 2006).

96 dzieci (średnia wieku: 3 lata i 5 miesięcy) zostało przydzielonych do grupy liczących bądź nieliczących na podstawie zmodyfikowanego zadania Give-a-Number (m.in. Wynn, 1992), polegającego na wybraniu z większego zbioru określonej liczby przedmiotów. Kryterium opanowania procedury liczenia było spełnione, jeśli dziecko poprawnie tworzyło zbiory o liczebności większej niż 5 elementów (mniejsze zbiory dzieci potrafią tworzyć także bez przeliczania). Kolejne zadanie miało na celu sprawdzenie, czy u dzieci z obu grup występuje efekt SNARC. Polegało ono na porównywaniu pod względem wielkości dwóch zbiorów prostokątów (w sumie 54 pary). Zbiory rozmieszczone były jeden po prawej, drugi po lewej stronie ekranu. Połowa dzieci miała za zadanie wskazać większy zbiór, druga połowa mniejszy. W ten sposób powstały cztery grupy badanych dzieci: 2 (liczące, nieliczące) x 2 (większy zbiór, mniejszy zbiór), po 24 dzieci w każdej z grup. Jeśli czas wyboru większego zbioru okazałby się krótszy dla prawego obrazka, a czas wyboru mniejszego zbioru krótszy dla lewego obrazka, można by przyjąć obecność efektu SNARC.

Analiza wyników wskazała na istotną interakcję dwóch czynników: strona (lewa, prawa) x zadanie (większy, mniejszy) (F(1,92)=12.17, p< .05). Czynnik międzygrupowy liczenie nie wchodził w żadną istotną interakcję. W zadaniu z wyborem większego zbioru zaobserwowano krótsze czasy reakcji przy wyborze obrazka po prawej stronie ekranu zarówno w grupie dzieci liczących (F(1,92)=5.83, p<.05), jak i nieliczących (F(1,92)=4.17, p<.05). Natomiast w zadaniu z wyborem mniejszego zbioru różnice między czasem wyboru lewego i prawego obrazka okazały się istotne statystycznie jedynie w grupie dzieci nieliczących (szybsze reakcje przy wyborze lewego obrazka; F(1,92)=7.00, p<.05). Powyższe wyniki wskazują na obecność efektu SNARC w wyszczególnionych grupach dzieci z wyłączeniem dzieci liczących wybierających mniejszy zbiór.
Pierwszym celem badania było sprawdzenie, czy w ogóle możliwe jest pojawienie się efektu u najmłodszych dzieci w wieku przedszkolnym. Na podstawie uzyskanych rezultatów można odpowiedzieć na to pytanie twierdząco. Przemawiają one przeciw hipotezie upatrującej źródła asocjacji liczbowo-przestrzennych w doświadczeniu związanym z korzystaniem z wynalazków kulturowych takich jak pisanie i czytanie. U dzieci 3-4-letnich, nie mających jeszcze doświadczenia w tych dziedzinach, mimo wszystko wystąpił efekt SNARC, tak jak wystąpił u rezusów we wspomnianych wcześniej badaniach.

Drugim celem było znalezienie czynnika, który warunkuje lub moduluje wystąpienie efektu na tak wczesnym etapie rozwoju. Przewidywano wpływ umiejętności liczenia na obserwowany efekt. Jednak czynnik ten nie wszedł w żadną istotną interakcję z pozostałymi rozpatrywanymi czynnikami. Efekt SNARC wystąpił nie tylko u dzieci liczących, ale także u nieliczących, nie możemy zatem uznać, że źródłem asocjacji liczbowo-przestrzennych jest opanowanie procedury liczenia. Zagadkowym natomiast wydaje się fakt, zanikania efektu u dzieci liczących, kiedy mają wybrać mniejszy zbiór. Być może liczenie wzmacnia tendencję do kierowania uwagi na prawo, co wchodzi w konflikt z kierowaniem uwagi na lewo przy poszukiwaniu mniejszych wartości na umysłowej osi liczbowej. W rezultacie oba efekty się znoszą. Dalsze badania powinny wykazać, na ile to przypuszczenie jest prawdopodobne.

Powyższe wyniki nasuwają kolejne pytania. Choć doświadczenie związane z czytaniem, pisaniem ani nawet liczenie nie są niezbędne do zaistnienia efektu, czy mamy prawo odrzucać hipotezę o zasadniczej roli wynalazków kulturowych w jego powstawaniu? Być może inne specyficzne umiejętności nabywane przez dzieci we wczesnych etapach rozwoju decydują o pojawieniu się ukierunkowania w obrębie reprezentacji liczb. Możliwe jest także, że asocjacje liczbowo-przestrzenne mają swoje głębsze źródła wynikające z rozwoju organizacji połączeń nerwowych w korze ciemieniowej w toku filogenezy. Badania z udziałem młodszych dzieci i niemowląt, obok badań porównawczych i neurofizjologicznych, mogłyby wnieść duży wkład w rozstrzygnięcie tej kwestii.

Katarzyna Patro
Uniwersytet Warszawski
Wydział Psychologii
[katarzyna.patro@gmail.com]

Bibliografia:

Berch, D.B., Foley, E.J., Hill, R.J., Ryan, P.M. (1999) Extracting parity and magnitude from Arabic numerals: developmental changes in number processing and mental representation, Journal of Experimental Child Psychology, 74, 286-308
Brannon, E. (2005) Quantitative thinking: from monkey to human and human infant to adult, [w:] Dehaene, S., Duhamel, J., Hauser, M.D., Rizzolatti, E. (red.), From Monkey Brain to Human Brain, Cambridge, MA: MIT Press, 97-116
Dehaene, S. (1997) The number sense. How the mind creates mathematics, New York: Oxford University Press
Dehaene, S., Bossini, S., Giraux, P. (1993) The mental representation of parity and numerical magnitude, Journal of Experimental Psychology: General, 122, 371-396
Dehaene, S., Dehaene-Lambertz, G., Cohen, L. (1998) Abstract representations of numbers in
the animal and human brain, Trends in Neurosciences, 21, 355-361
Dehaene, S., Piazza, M., Pinel, P., Cohen, L. (2003) Three parietal circuits for number processing, Cognitive Neuropsychology, 20, 487-506
Fias, W., Brysbaert, M., Geypens, F., D’ydewalle, G. (1996) The importance of magnitude information in numerical processing: evidence from the SNARC effect, Mathematical Cognition, 2, 95-110
Fischer, M.H., Castel, A.D., Dodd, M.D., Pratt, J. (2003) Perceiving numbers causes spatial shifts of attention, Nature Neuroscience, 6, 555-556
Gevers, W., Lammertyn, J., Notebaert, W., Verguts, T., Fias, W. (2006) Automatic response activation of implicit spatial information: evidence from the SNARC effect, Acta Psychologica, 122, 221-233
Gulledge, J.P. (2006) Hemispheric differences in numerical cognition: a comparative investigation of how primates process numerosity, nieopublikowana rozprawa doktorska, Georgia State University, Atlanta
Hubbard, E.M., Piazza, M., Pinel, P., Dehaene, S. (2005) Interactions between number and space in parietal cortex, Nature Reviews Neuroscience, 6, 435-448
Ito, Y., Hatta, T. (2004) Spatial structure of quantitative representation of numbers: evidence from the SNARC effect, Memory & Cognition, 32, 662-673
Moyer, R.S., Landauer, T.K. (1967). Time required for judgments of numerical inequality, Nature 215, 1519-1520.
Opfer, J.E., Thompson, C.A. (2006). Even early representations of numerical magnitude are spatially organized: Evidence from a directional magnitude bias in pre-reading preschoolers. [w:] Sun, R., Miyake, N. (red.), Proceedings of the 28th Annual Cognitive Science Society Mahwah, NJ: Erlbaum, 639-644
Schwarz, W., Keus, I.M. (2004) Moving the eyes along the mental number line: comparing SNARC effects with saccadic and manual responses, Perception & Psychophysics, 66, 651-664
Shaki, S., Fischer, M.H. (2008) Reading space into numbers: a cross-linguistic comparison of the SNARC effect, Cognition, 108, 590-599
Van Galen, M.S., Reitsma, P. (2008) Developing access to number magnitude: A study of the SNARC effect in 7- to 9-year-olds, Journal of Experimental Child Psychology, 101, 99-113
Wynn, K. (1992) Children’s acquisition of number words and the counting system, Cognitive Psychology, 24, 220-251
Zebian, S. (2005) Linkages between number concepts, spatial thinking and directionality of writing: The SNARC effect and the reverse SNARC effect in English and Arabic monoliterates, biliterates and illiterate Arabic speakers, Journal of Cognition and Culture, 5, 165-191
Zorzi, M., Priftis, K., Umilta, C. (2002) Neglect disrupts the mental number line, Nature, 417, 138-139

Tekst pierwotnie opublikowany w „Poznańskie Forum Kognitywistyczne. Teksty Pokonferencyjne.” Tom 3, Poznań 2009, s. 138 – 146. Przedruk za zgodą redakcji ze strony: Poznańskie Forum Kognitywistyczne. http://pfk.wikidot.com/nasze-wydawnictwa

——————————————————————————————–
Materiał udostępniany na zasadach licencji

Creative Commons 2.5
Uznanie autorstwa-Użycie niekomercyjne
-Na tych samych warunkach 2.5 Polska
——————————————————————————————–