Maria H. Golka,

Teoria zbiorów rozmytych jako formalizacja teorii prototypu: Problemy z kompozycjonalnością.

Wstęp

Sposób, w jaki dzielimy reprezentację świata zewnętrznego na porcje umożliwiające kognitywne przetwarzanie jest jednym z najbardziej interesujących problemów kognitywistyki. Proces ten, kategoryzacja, może być widziany jako jedna z podstawowych funkcji poznawczych:

„Świat składa się z nieskończonej liczby możliwych do rozróżnienia bodźców. Jedną z podstawowych funkcji wszystkich organizmów jest dzielenie otoczenia i klasyfikowanie go, dzięki czemu nieidentyczne bodźce mogą być traktowane jako równoważne.” [Rosch et al. 1976 s. 383]

Istnieje wiele teorii mających opisywać charakter kategorii i procesu kategoryzacji. Tutaj skoncentrujemy się na jednej z najbardziej rozpowszechnionych, a mianowicie teorii prototypu.

Celem tego artykułu nie jest rozważenie słabych i mocnych stron teorii prototypu jako teorii pojęć. Psychologiczna zasadność tej teorii została wiele razy wykazana eksperymentalnie, zarówno w założycielskich badaniach Eleonory Rosch [m. in. Rosch 1975], jak i później. Skoncentrujemy się tutaj raczej na dyskusji wokół związku teorii prototypu i teorii zbiorów rozmytych.

Wielu autorów [zob. m.in. Fodor i Lepore 1996, Osherson i Smith 1991] zgadza się co do stwierdzenia, że teoria pojęć powinna wyjaśniać po pierwsze, w jaki sposób pojęcia funkcjonują jako kategorie oraz po drugie, w jaki sposób kombinują się one ze sobą dając naszemu skończonemu umysłowi nieskończoną zdolność konceptualną.

Jeśli chodzi o pierwsze wymaganie, teoria prototypu sprawdza się dość dobrze. Proponuje ciekawe ujęcie funkcjonowania kategorii konceptualnych. Problemy z teorią tą zaczynają się, kiedy chce się wyjaśnić tworzenie i funkcjonowanie pojęć złożonych.

W dalszym ciągu artykułu przyjrzymy się kilku z tych problemów i spróbujemy rozważyć, czy są one spowodowane przez samą teorię prototypu, czy też przez jej błędną formalizację.

Teoria prototypu

Teoria prototypu pojawiła się w pracach Eleonory Rosch na początku lat 70. XX wieku. Jej pojawienie się, nazywane czasem nawet rewolucją, można postrzegać jako pierwszą próbę zastąpienia arystotelesowskiego modelu warunków koniecznych i wystarczających modelem kategoryzacji gradualnej.

Zainspirowana koncepcją podobieństwa rodzinnego Wittgensteina, teoria Rosch reprezentuje podejście probabilistyczne i dopuszcza możliwość, że istnieją obiekty mniej lub bardziej reprezentatywne dla danej kategorii.

W dużym skrócie, propozycja Rosch polega na stwierdzeniu, że dla każdej kategorii istnieją egzemplarze centralne (bardziej typowe) i peryferyczne (mniej typowe). Przejście między jednymi a drugimi jest płynne. Stopień typowości danego egzemplarza jest tożsamy z wartością jego funkcji przynależności do danej kategorii, co zostanie następnie zakwestionowane [Kamp i Partee, 1995]. Aby przekonać się czy dany obiekt należy do kategorii, porównujemy go z prototypem tej kategorii.
Początkowo pojęcie prototypu kategorii opisywało najbardziej wyrazisty bodziec, pozwalający zidentyfikować kategorię. Następnie Rosch zaczęła nazywać prototypem centralny, najbardziej reprezentatywny dla kategorii egzemplarz. Jak zobaczymy, takie rozumienie prototypu może prowadzić do pewnych problemów i obecnie proponuje się rozumieć prototyp jako rozmyty zbiór najbardziej reprezentatywnych egzemplarzy.

Logika rozmyta

Teoria zbiorów rozmytych została po raz pierwszy opisana przez Lotfi Zadeha w 1965 roku. Z założenia miała ona formalizować reprezentację wiedzy niepewnej lub aproksymatywnej, tak, by mogła ona zostać przetworzona przez systemy sztucznej inteligencji. Pojęcie podzbioru rozmytego (nazywanego często zbiorem rozmytym) pozwala na gradację przynależności elementów to klasy.

W przeciwieństwie do logiki dwuwartościowej, logika rozmyta dopuszcza możliwość, że zdanie jest częściowo prawdziwe bądź częściowo fałszywe. Relację między logiką dwuwartościową a logiką rozmytą można widzieć w sposób analogiczny do relacji między modelem warunków koniecznych i wystarczających a teorią prototypu.

Przyjrzyjmy się kilku podstawowym definicjom, które będą potrzebne w dalszym ciągu artykułu. Na początku zdefiniujmy podzbiór rozmyty:

Integracja teorii prototypu i teorii zbiorów rozmytych

W miarę jak teoria prototypu stawała się coraz bardziej popularna, zwiększała się potrzeba jej formalizacji. Jedną z pierwszych prób tego typu była próba powiązania teorii prototypu z teorią zbiorów rozmytych. Wydaje się to naturalne, zważywszy, że obie teorie pojawiły w podobnym czasie, obie stały się bardzo popularne i obie starały się przedstawić „rozmyte” aspekty kategoryzacji.

Jak wspomniano we wstępie, teoria pojęć powinna wyjaśniać, w jaki sposób z pojęć prostych budowane są pojęcia złożone. Prowadzi to do założenia pokrewnego zasadzie kompozycjonalności, przyjmowanej w semantyce. Zasada kompozycjonalności mówi, że sens wyrażenia złożonego jest funkcją sensów jego składników i sposobu ich kombinacji. Wydaje się więc, że dla pojęć złożonych również powinno być możliwe ustalenie tego rodzaju relacji między pojęciem złożonym a pojęciami prostymi, wchodzącymi w jego skład.

Problemy z kompozycjonalnością pojęć rozmytych

W artykule z 1981 roku, Osherson i Smith podnoszą kilka fundamentalnych kwestii w dyskusji na temat unifikacji teorii prototypu z teorią zbiorów rozmytych.

Zanim przejdziemy do ich argumentów, które rozpoczęły dyskusję na temat kompozycjonalności pojęć rozmytych, przyjrzyjmy się ich definicji prototypu. Definicja ta, wbrew temu co sugerują autorzy, nie jest zupełnie standardowa i neutralna.

Osherson i Smith charakteryzują teorię prototypu w następujący sposób: pojęcie jest mentalną reprezentacją czwórki uporządkowanej [a , d, p, c,] gdzie:
A jest przestrzenią konceptualną: zbiorem rozważalnych przedmiotów;
d jest dystansem metrycznym: funkcją z A × A w liczby rzeczywiste dodatnie;
p jest prototypem: jednym z elementów A;
c jest funkcją charakterystyczną: funkcją z A w [0, 1];

Osherson i Smith zauważają, że teoria prototypu pojęta w ten sposób jest niekompatybilna z teorią zbiorów rozmytych. Argumentują oni, że reprezentowanie prototypów za pomocą zbiorów rozmytych prowadzi do pewnych nieprawidłowości na poziomie pojęć złożonych.

Ich pierwszy argument dotyczy pojęć koniunktywnych (na przykład pojęć reprezentowanych przez wyrażenie składające się z przymiotnika i rzeczownika). Osherson i Smith zaobserwowali, że w przypadku tego typu pojęć jeśli przedmiot jest bardziej prototypowy dla pojęcia złożonego niż dla jednego z pojęć prostych, z których się ono składa, jego stopień przynależności do pojęcia prostego będzie, paradoksalnie, większy niż do pojęcia złożonego. Rozważmy przykład Osherson i Smitha, jabłko w paski (striped apple). Intuicyjnie przedmiot będący jabłkiem w paski jest bardziej prototypowy dla kategorii „jabłko w paski” niż dla kategorii „jabłko”:

Te przykłady (ale jest ich więcej) pokazują, że unifikacja teorii prototypów i teorii zbiorów rozmytych nie jest kwestią tak prostą, jakby się to intuicyjnie wydawało. Problemy pojawiają się, gdy chcemy za pomocą zbiorów rozmytych oddać, w jaki sposób pojęcia złożone budowane są z pojęć prostych.

Jednakże, jak to podkreślają Kamp i Partee [1995], trudności przedstawionych przez Oshersona i Smitha nie można w pełni przypisywać teorii zbiorów rozmytych ani teorii prototypu. Co najmniej po części wynikają one z definicji pojęcia o budowie prototypowej, przyjętej przez autorów.

Kamp i Partee zauważają ważny brak definicji Oshersona i Smitha. Funkcja charakterystyczna c może być rozumiana na dwa różne sposoby. Z jednej strony może być stopniem przynależności obiektu do ekstensji danego pojęcia. Z drugiej strony zaś może być miarą stopnia reprezentatywności danego obiektu dla danego pojęcia. Problemem jest, że Osherson i Smith nie rozróżniają tych dwóch funkcji, mimo, że nic nie wskazuję na to, iż mogą być one uważane za tożsame. Kamp i Partee proponują, aby oddać to ważne rozróżnienie, zastępując funkcję c Oshersona i Smitha dwiema różnymi funkcjami, ce i cp, które reprezentowałyby odpowiednio stopień przynależności i stopień prototypowości.

Ponadto, wielu autorów [m.in. Zadeh 1982, Fuhrmann 1991] uważa, że w przeciwieństwie do tego, co proponują Osherson i Smith, prototyp p nie jest pojedynczym obiektem, który reprezentuje pojęcie, lecz zbiorem (możliwe, że rozmytym) obiektów prototypowych.

Możliwe rozwiązania

Próby rozwiązania problemów zarysowanych przez Oshersona i Smitha można zasadniczo podzielić na trzy grupy. Część autorów uważa, że problem leży po stronie teorii zbiorów rozmytych, która, ich zdaniem, nie jest dobrym sposobem reprezentowania pojęć o budowie prototypowej. Starają się więc oni zastąpić tę teorię innym formalizmem, mniej problematycznym jeśli chodzi o kompozycjonalność [Kamp i Partee 1995, Jones 1982]. Inni [Zadeh 1982] uważają, że teoria zbiorów rozmytych dobrze współgra z teorią prototypu, a problemy zarysowane przez Oshersona i Smitha są tylko efektem ich błędnego rozumienia prototypu. Wreszcie, trzecia grupa autorów odrzuca zupełnie teorię prototypu jako teorię niekompozycjonalną [Fodor i Lepore 1995].

Kamp i Partee [1995] proponują zastąpić teorię zbiorów rozmytych teorią superwartościowań. W ten sposób każdy obiekt, którego wartość funkcji przynależności nie wynosi 1 ani 0 otrzyma wartość niezidentyfikowaną. Tego typu postępowanie pozwoli uniknąć niektórych problemów opisanych przez Osherson i Smitha (jabłko w paski), lecz nie działa dla innych (jabłko, które nie jest jabłkiem). Co więcej, takie podejście, mimo że mniej ryzykowne, powoduje utratę informacji o różnicach w prototypowości poszczególnych obiektów.

Z kolei Zadeh [1982] uważa, że trudności opisane przez Osherson i Smitha nie dyskredytują teorii zbiorów rozmytych jako bazy dla teorii prototypu. Wręcz przeciwnie, twierdzi on, że jakikolwiek opis pojęć o budowie prototypowej jest niemożliwy bez odwołania się do zbiorów rozmytych.

Natomiast Fodor i Lepore [1995] zauważają, że prototypy nie są kompozycjonalne same w sobie. Zważywszy na to, że teoria pojęć powinna zdawać sprawę z ich kompozycjonalnego charakteru, a teoria prototypu tego nie robi, nie może ona służyć za teorię pojęć. Rozmyty bądź prototypowy charakter pojęć jest ich ważną cechą, jednakże to nie dzięki swojej prototypowości pojęcia są kompozycjonalne.

Podsumowanie

Jak widzieliśmy, unifikacja teorii prototypu i teorii zbiorów rozmytych wytwarza pewne problemy na poziomie pojęć złożonych. Natura tych problemów jak i sposoby radzenia sobie z nimi są wciąż tematem dyskusji. Nie ma zgody co do kwestii, czy problemy te wynikają z samej teorii prototypu, czy też ze sposobu jej reprezentacji za pomocą zbiorów rozmytych. Ewentualne rozwiązania różnią się więc u różnych autorów w zależności od tego jak identyfikują oni problem. Pytanie pozostaje wciąż otwarte, gdyż nie wypracowano jeszcze uniwersalnej czy satysfakcjonującej odpowiedzi na problem postawiony przez Osherson i Smitha.

Maria H. Golka, UAM, Kognitywistyka / Université Paris 5, ENS, EHESS, Master Recherche en Sciences Cognitives, ladygolka@gmail.com

Bibliografia:

Bouchon-Meunier, B. 1995, La logique floue et ses applications, Editions Addisley-Wesley France.

Fodor, J., Lepore, E. 1996, The red herring and the pet fish : why concepts still can’t be prototypes, Cognition, 58, s. 253-270.

Freund, M. 2008, On the notion of concept, Artificial Intelligence, 172, s. 570-590.

Fuhrmann, GY. 1991, Note on the integration of prototype theory and fuzzy-set theory, Synthese, 86, s. 1-27.

Hampton, J. 1998, Similarity-based categorization and fuzziness of natural categories, Cognition, 65, s. 137-165.

Hampton, J. 1995, Testing the prototype theory of concepts, Journal of memory and language, 34, s. 686-708.

Hampton, J., Dubois, D., Yeh, W. 2006, Effects of classification context on Categorization in natural categories, Memory & Cognition, 34(7), s. 1431-1443.

Jones, G. V. 1982, Stacks not fuzzy sets: An ordinal basis for prototype theory of concepts, Cognition, 12, s. 281-290.

Kamp, H., Partee, B. 1995, Prototype theory and compositionality, Cognition, 57, s. 129-191.

Keller, J., Lehman, F. K. 1991, Complex Concepts, Cognitive Science, 15, s. 271-291.

Kosko, B. 1993, Fuzzy thinking, Hyperion.

Łachwa, A. 2001, Rozmyty świat zbiorów, liczb, relacji, faktów, reguł i decyzji, Exit.

McCloskey, M. E., Glucksberg, S. 1978, Natural categories: Well defined or fuzzy sets?, Memory and Cognition, 6(4), s. 462-472.

McCloskey, M. E., Glucksberg, S. 1979, Decision processes in verifying category membership statements: Implications for models of semantic memory, Cognitive Psychology, 11, s. 1-37.

Mervis, C. B., Rosch, E. 1981, Categorization of natural objects, Annual Review of Psychology, 32, s. 89-115.

Osherson, D. N., Smith, E.E. 1981, On the adequacy of prototype theory as a theory of concepts, Cognition, 9, s. 59-72.

Poitrenaud, S., Richard, J.-F., Tijus, C. 2005, Properties, categories and categorization. Thinking and Reasoning, 11, s. 151-208.

Pothos, E. M. 2005, The rules versus similarity distinction, Behavioral and Brain Sciences, 28, s. 1-49.

Rosch, E. 1975, Cognitive Reference Points, Cognitive Psychology, 7, s. 532-547.

Rosch, E. 1973, Natural Categories, Cognitive Psychology, 4, s. 328-350.

Rosch, E., Mervis C. B. 1975, Family Resemblances : Studies in the Internal Structure of Categories, Cognitive Psychology, 7, s. 573-605.

Rosch, E., Mervis C. B., Gray, W. D., Johnson, D. M., Boyes-Braem, P. 1976, Basic Objects in Natural Categories, Cognitive Psychology, 8, s. 382-439.

Tseng, S.-S., Sue, P.-C., Su, J.-M., Weng, J.-F., Tsai, W.-N. 2007, A new approach for constructing the concept map, Computers & Education, 49, s. 691-707.

Walker, C. L. 2004, Categories of fuzzy sets, Soft Computing, 8, s. 299-304.

Zadeh, L. A. 1982, A note on prototype theory and fuzzy sets, Cognition, 12, s. 291-297.